1 . 设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：．

2 . 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且．求证：过点P且垂直于OQ的直线l过C的右焦点F．

3 . 已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B．
(1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程；
(2)若，且，证明：直线l过定点．

4 . 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（       ）

A．椭圆的离心率为

B．若为正方形，则的边长为

C．椭圆的蒙日圆方程为

D．长方形的面积的最大值为14

5 . 在平面直角坐标系中，过抛物线：的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于，两点，则下列说法正确的是（       ）

A．若直线与准线交于点，则

B．对任意的直线，

C．的最小值为

D．以为直径的圆与轴的公共点个数为偶数

6 . 在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线．①点到的距离比到轴的距离大；②过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．
(1)选择条件：________，求曲线的方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，若।，求实数的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

7 . 椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为______．

8 . 我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；②；③．
已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为______．

9 . 已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为.
(1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值；
(2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离；
(3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围.

10 . 已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点．

(1)求轨迹Γ的方程；
(2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：．