1 . 在数学教科书《选择性必修第一册》中,有一段对圆锥曲线统一定义的描述.其中提到:设椭圆的一个焦点为,长半轴长为,则一点在椭圆上当且仅当.由于圆不在考虑范围内,,上式经变形化为等价条件,其中是椭圆的离心率,我们还把直线称为椭圆的准线.这样,上式用文字叙述就是:椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹,其中离心率满足.阅读以上文字,并回答以下问题:设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值______ .
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2 . 已知椭圆,点、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若椭圆上点满足,求的值;
(2)点为椭圆的右顶点,定点在轴上,若点为椭圆上一动点,当取得最小值时点恰与点重合,求实数的取值范围;
(3)已知为常数,过点且法向量为的直线交椭圆于、两点,若椭圆上存在点满足(),求的最大值.
(1)若椭圆上点满足,求的值;
(2)点为椭圆的右顶点,定点在轴上,若点为椭圆上一动点,当取得最小值时点恰与点重合,求实数的取值范围;
(3)已知为常数,过点且法向量为的直线交椭圆于、两点,若椭圆上存在点满足(),求的最大值.
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3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,直线与椭圆交于两点(点在点的上方),与轴交于点.
(1)当时,点为椭圆上除顶点外任一点,求的周长;
(2)当且直线过点时,设,求证:为定值,并求出该值;
(3)若椭圆的离心率为,当为何值时,恒为定值;并求此时面积的最大值.
(1)当时,点为椭圆上除顶点外任一点,求的周长;
(2)当且直线过点时,设,求证:为定值,并求出该值;
(3)若椭圆的离心率为,当为何值时,恒为定值;并求此时面积的最大值.
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4 . 设,是椭圆与双曲线(,)的公共焦点,曲线,在第一象限内交于点M,,若椭圆的离心率,则双曲线的离心率的取值范围是______ .
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5 . 已知二次曲线的方程为: ,当m,n为正整数,且时存在两条曲线,其交点P与点满足,则__________
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6 . 点是棱长为1的正方体棱上一点,则满足的点的个数为____________ .
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7 . 已知椭圆的右焦点为,直线与椭圆交于不同的两点、.
(1)证明:点到右焦点的距离为;
(2)设点,当直线的斜率为,且与平行时,求直线的方程;
(3)当直线与轴不垂直,且△的周长为时,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
(1)证明:点到右焦点的距离为;
(2)设点,当直线的斜率为,且与平行时,求直线的方程;
(3)当直线与轴不垂直,且△的周长为时,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
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8 . 如图,已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆,是以的焦点为顶点的等轴双曲线,点是与的一个交点,动点在的右支上且异于顶点.(1)求与的方程;
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
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9 . 已知椭圆的右焦点为,直线交于两点,且轴,则__________ .
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10 . 已知椭圆的方程为分别是的左、右焦点,是的上顶点.
(1)设直线与椭圆的另一个交点为,求的周长;
(2)给定点,直线分别与椭圆交于另一点,求的面积.
(1)设直线与椭圆的另一个交点为,求的周长;
(2)给定点,直线分别与椭圆交于另一点,求的面积.
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