1 . 已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

2 . 已知是椭圆的左焦点，离心率，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点且被A点平分的弦所在直线的方程.

3 . 已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点 、 、 和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点的直线和椭圆交于两点，求△面积的最大值.

5 . 如图，已知椭圆过点，其的左、右顶点分别是，，下、上顶点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，直线，的斜率，满足.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，求四边形面积的取值范围.

6 . 椭圆的方程为，为椭圆的短轴端点，为椭圆上除外一点，且直线斜率积为，直线与圆相切，且与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明为定值.

7 . 已知椭圆的离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数m，使直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.

9 . 已知焦点在x轴上的椭圆方程为，则m的范围为_________．

10 . 已知点是圆：上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）在轴上是否存在一定点，使得双曲线的任意一条过的弦，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.