1 . 已知椭圆的两个焦点分别是，其长轴长是短轴长的2倍，P为椭圆上任意一点，且的面积最大值为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

3 . 已知直线：与椭圆：（）相交于，两点，为坐标原点，椭圆的一个焦点为，中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上任意两点，满足，求面积的取值范围．

4 . 设O是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点，
（1）求C的方程；
（2）P是C外的一点，设其坐标为，过P的直线均与C相切，且的斜率之积为，记u为的最小值，求u的取值范围．

5 . 椭圆：的焦距为2，椭圆上一点.不过原点的直线与椭圆相交于，两点，若抛物线：的焦点是椭圆的右焦点.

（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）若线段的长度为.求面积的取值范围.

6 . 如图，设A、B是椭圆的左、右顶点，，过右焦点F的直线交椭圆C于点M，N，交直线于点P，且直线的斜率成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）记，的面积分别为，求的取值范围．

7 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线l交椭圆C于不同的两点M，N，求（O为坐标原点）的面积的最大值．

8 . 已知，是椭圆的左､右焦点，动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别为1和3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧.过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点.当时，求点的坐标.

9 . 已知e为椭圆的离心率，且点均在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）如图，分别为椭圆的左右焦点，点A在椭圆上，直线分别与椭圆交于B，C两点，直线交于点D，求证：为定值．

10 . 已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴，D，C为椭圆的上，下顶点，直线交椭圆于M，N（点M在点N左侧，且M与C不重合）．

（1）求椭圆方程．
（2）求证：直线的倾斜角互补；
（3）记的斜率为，的斜率为，求的取值范围．