1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）经过椭圆E的左焦点作斜率之积为的两条直线，，直线交椭圆E于A，B，直线交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求面积的最大值.

2 . 椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆的两条斜率存在的切线分别与椭圆交于点，求的最大值.

3 . 已知椭圆的离心率为，是椭圆上位于第三象限内的一点，点满足.过点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点.

（Ⅰ）若点的坐标为
（i）求椭圆的方程；
（ii）求面积；（用含的代数式表示）
（Ⅱ）若满足，求直线，的斜率之积.

4 . 如图，已知椭圆.为坐标原点，为椭圆的右顶点，，在椭圆上，且四边形是正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点恰在线段上，求的取值范围.

5 . 已知椭圆C：右焦点为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）点P、Q分别在C和直线上，，M为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．

6 . 已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题函数在上有零点.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.

8 . 已知椭圆的一个焦点为，且经过点，A，B是椭圆上两点，．
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．

9 . 定义椭圆()的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.

10 . 知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．