1 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．

2 . 1.已知椭圆的短轴长为，直线l：与x轴交于点A，椭圆的右焦点为F，，过点A的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线PQ的方程；
(3)过点P且平行于y轴的直线交椭圆于另一点M，求面积的最大值．

3 . 1.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1

(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于A，B两点，且AB被直线平分.
①若的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；
②椭圆的左右焦点分别是，，，的重心分别是，，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求面积的取值范围.

4 . 已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记，，的面积分别为，，，试证明为定值．

5 . 已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与圆相切，求证：(为坐标原点)．

6 . 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.

7 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点且离心率，过点作直线与椭圆交于、两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证：；
（3）求的最大值.

8 . 椭圆的中心为坐标原点，点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，一个焦点为，离心率为．点是椭圆上在第一象限内的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若把直线，的斜率分别记作，，求证：；
（3）是否存在点使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

9 . 在直角坐标系中，椭圆:的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8.

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆:，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点.当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由.

10 . 已知椭圆，的离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，M、N是椭圆C上异于A、B的两点，直线，交于点，记的面积分别是，，求的最小值.