1 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标．

2 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆：，左焦点是.
（1）若左焦点与椭圆的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率为的直线与（1）中的椭圆交于不同的两点，设，求四边形的面积取得最大值时直线的方程；
（3）过左焦点的直线交椭圆于两点，直线交直线于点，其中是常数，设，，计算的值（用的代数式表示）.

4 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.

5 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，是椭圆的左右顶点，过点作直线与轴垂直，点是椭圆上的任意一点（不同于椭圆的四个顶点），联结，交直线于点，点为线段的中点，求证：直线与椭圆只有一个公共点．

6 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.

7 . 已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.

8 . 已知点在椭圆上，椭圆离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 求适合下列条件的标准方程：
（1）焦点在轴上，与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程；
（2）焦点在轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程．

10 . 已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值．