1 . 如图，已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．

(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．

2 . 如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，，分别是其渐近线，上的两个点，的面积为9，P是双曲线C上的一点，且.
   
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)求双曲线C的标准方程.

3 . 已知双曲线，其中离心率为，且过点，求
(1)双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值.

4 . 已知双曲线，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的虚轴长与离心率；
(2)若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率，均存在，求证：为定值；
(3)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.

6 . 双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．

7 . 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．

8 . 已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.

9 . 已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的取值范围（为坐标原点）.

10 . 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，椭圆上的一个动点M与椭圆右焦点F距离的最大值是
(1)求椭圆C的方程
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．