1 . 已知平面内动点与点，连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点.求证：以为直径的圆恒过定点.

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
（1）求的标准方程；
（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.

4 . 已知动直线垂直于轴，与椭圆交于，两点，点在直线上，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围．

5 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

6 . 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： (a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PCD面积的最大值.

7 . 已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.

8 . 在平面直角坐标系内，已知点，圆的方程为，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）过点能否作一条直线，与点的轨迹交于两点，且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线与轴交于，过点的直线l与椭圆交于两不同点，，若，求实数的取值范围.

10 . 已知椭圆的短轴长为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．