1 . 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点.
(1)求的方程；
(2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.
（i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系；
（ii）证明：直线经过轴上的定点.

2 . 在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是.
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆交于两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

4 . 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点．

5 . 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.过点作直线的垂线，垂足为，问：在平面内是否存在定点使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

6 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

7 . 已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值．

8 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

9 . 已知椭圆的离心率为，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2） 若直线与椭圆交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

10 . 在直角坐标系中，椭圆的离心率为，椭圆短轴上的一个顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，动直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率均存在，求证：直线的斜率依次成等差数列．