2 . 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，满足与共线．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当椭圆的焦距为2时，设为椭圆上任意一点，且，求点到原点的最大距离．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于、两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

5 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由.

7 . 已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.

8 . 已知椭圆的左焦点，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过圆上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
（ⅰ）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别．求证：；
（ⅱ）求的取值范围．

9 . 设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.

10 . 如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）（i）证明：；
（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.