1 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

2 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线C左支上一点，．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线与x轴交点的横坐标分别为，且，求双曲线C的方程．

3 . 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.

4 . 已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.

5 . 已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.

6 . 已知双曲线E：的离心率为，点在双曲线E上.
(1)求E的方程；
(2)过点的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由.

9 . 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点，在双曲线C的右支上，且，，，过点P且斜率为的直线与过点Q且斜率为的直线交于线段AB上一点M，且，求实数的值.

10 . 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.