1 . 已知双曲线
：
（
，
）的右顶点
，斜率为1的直线交于
、
两点，且
中点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：
为直角三角形；
(3)若过曲线上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为
，
，且分别在第一象限和第四象限，若
，
，求
面积的取值范围.
：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.(1)求双曲线
的方程；(2)证明：
为直角三角形；(3)若过曲线
上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
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2024-03-01更新
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2350次组卷
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4卷引用：东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
名校
解题方法
2 . 已知双曲线
为双曲线
的右焦点，过
作直线
交双曲线于
两点，过点且与直线垂直的直线
交直线
于点，直线
交双曲线于
两点.
(1)若直线的斜率为
，求
的值；
(2)设直线
的斜率分别为
，且
，记
，试探究
与
满足的方程关系，并将用
表示出来.
为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.(1)若直线
的斜率为，求的值；(2)设直线
的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.
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2023-04-08更新
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1674次组卷
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3卷引用：河北省石家庄市2023届高三教学质量检测(二)(一模)数学试题
3 . 已知以下事实：反比例函数
（
）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数
的图象
的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转
，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆
：
（
）与直线
：
交于、
两点，直线
、
分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时
的值；若不存在，说明理由．
（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．(1)（ⅰ）直接写出函数
的图象的实轴长；（ⅱ）将曲线
绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．(2)已知点
是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
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2024-03-21更新
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1531次组卷
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5卷引用：广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试（二）数学试题
20-21高三上·上海浦东新·阶段练习
4 . 已知
是焦距为
的双曲线
上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于
，且
，过作垂直的两条直线和
，与
轴分别交于两点，其中与
轴交点的横坐标是
.
(1)证明:
;
(2)求
的最大值，并求此时双曲线的方程;
(3)判断以
为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由.
是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.(1)证明:
;(2)求
的最大值，并求此时双曲线的方程;(3)判断以
为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由.
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名校
解题方法
5 . 如图，已知椭圆
与等轴双曲线
共顶点
，过椭圆
上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.
(2)若直线AB与双曲线的左，右两支分别交于Q，R，求
的取值范围.
与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.
(2)若直线AB与双曲线
的左，右两支分别交于Q，R，求的取值范围.
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2023-01-02更新
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1330次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考(五)数学试题
解题方法
6 . 已知双曲线
，上顶点为
，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点
.设直线
的倾斜角分别为
.
(1)若
，
（i）若
，求
；
（ii）求证：
为定值；
(2)若
，直线
与轴交于点，求
与
的外接圆半径之比的最大值.
，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.(1)若
，（i）若
，求；（ii）求证：
为定值；(2)若
，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
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解题方法
7 . 已知双曲线
的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于
．
(1)求双曲线
的方程；(2)过点
作直线与双曲线相交于两点，直线
分别交直线
于
两点，求
的取值范围．
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解题方法
8 . 已知双曲线
的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求
的面积的最小值．
的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点
为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
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9 . 平面直角坐标系
中，为动点，
与直线
垂直，垂足位于第一象限，
与直线
垂直，垂足位于第四象限，
且
，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点
，
，设点与点关于原点
对称，
的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为
，交于另一点，求
的最大值.
中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.(1)求
的方程；(2)已知点
，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
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解题方法
10 . 双曲线C：
，点
是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点
关于y轴对称．延长
至E使得
，且直线
和C的另一个交点F位于第二象限中．
(1)求
的取值范围；
(2)证明：
不可能是
的三等分线.
，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中．(1)求
的取值范围；(2)证明：
不可能是的三等分线.
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