1 . 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．

2 . 已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，直线与双曲线分别交于两点，当时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设的斜率分别为，当且时，求和的值.

3 . 如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.

(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;

4 . 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

5 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

6 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．

7 . 已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率

9 . 已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

10 . 如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由；
(3)求四边形的面积的取值范围.