1 . 已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
(1)求等轴双曲线的标准方程；
(2)证明：直线过定点.

2 . 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值；
(3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值．

3 . 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
   
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.

4 . 已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．
(1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；
(2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．

5 . 已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线经过定点；
②点在定直线上.

6 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．

(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．

7 . 已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
(1)若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
(2)若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
(3)若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．

8 . 已知抛物线，双曲线，点在的左支上，过作轴的平行线交于点，过作的切线，过作直线交于点，交于点，且.
(1)证明：与相切；
(2)过作轴的平行线交的左支于点，过的直线平分，记的斜率为，若，证明：恒为定值.

9 . 已知点是双曲线与椭圆的公共点，直线与双曲线交于不同的两点，，设直线与的倾斜角分别为，，且满足.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(2)记（1）中直线恒过定点为，若直线与椭圆交于不同两点，，求的取值范围.

10 . 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点.
(1)若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值；
(2)设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.