1 . 一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，
，
分别为抛物线
的切线三角形和切点三角形，
为该抛物线的焦点．当直线
的斜率为
时，中点的纵坐标为
．
．
(2)若直线
过点，直线
分别与该抛物线的准线交于点
，记点的纵坐标分别为
，证明：
为定值．
(3)若
均不与坐标原点重合，证明：
，分别为抛物线的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
．(2)若直线
过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．(3)若
均不与坐标原点重合，证明：
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解题方法
2 . 设抛物线
的方程为
，
为直线
上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
(1)当M的坐标为
时，求过M，A，B三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．
的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．(1)当M的坐标为
时，求过M，A，B三点的圆的方程；(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．
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3 . 已知抛物线
的焦点为，
是抛物线上一点，且
．
(1)求抛物线的方程．
(2)若
是抛物线上一点，过点
的直线与拋物线交于
两点（均与点
不重合），设直线
的斜率分别为
，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
的焦点为，是抛物线上一点，且．(1)求抛物线
的方程．(2)若
是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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4 . 设抛物线
，过点
的直线与交于两点，且
.若抛物线的焦点为，记
的面积分别为
.
的最小值.
(2)设点
，直线
与抛物线的另一交点为
，求证：直线
过定点.
(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当
为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为
绕
轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为
.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.
，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.
的最小值.(2)设点
，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点.(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当
为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.
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5 . 已知抛物线
的焦点为，准线
与轴的交点为
，过点的直线
与抛物线交于A，
两点，点
为坐标原点，下列结论正确的是（ ）
的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是（ ）A．存在点A、，使 |
B．若点是弦的中点，则点M到直线的距离的最小值为 |
C． 平分 |
D．以 为直径的圆与 轴相切 |
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名校
解题方法
6 . 已知抛物线
焦点为，过点
（不与点重合）的直线交于
两点，为坐标原点，直线
分别交于两点，
，则（ ）
焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ）A． | B．直线过定点 |
C． 的最小值为 | D． 的最小值为 |
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2024-04-18更新
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1243次组卷
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5卷引用：辽宁省沈阳铁路实验中学2024届高三第八次模拟考试数学试题
解题方法
7 . 过点
的直线与抛物线
交于不同两点A、B．则
______ ．（O为坐标原点）
的直线与抛物线交于不同两点A、B．则
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8 . 已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点
，则下列说法正确的是（ ）
的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（ ）A． |
B．存在 |
| C．不存在以为直径且经过焦点的圆 |
D．当 的面积为 时，直线的倾斜角为 或 |
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2024-01-17更新
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1177次组卷
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3卷引用：辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高三下学期二模数学试题
9 . 已知平面直角坐标系中，动点到
的距离比到轴的距离大1.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过
且斜率为
的直线与轨迹交于
，两点，
，
.
①求
的值；
②若
，
，且满足直线
和直线
的斜率之和恒为0，求的值.
到的距离比到轴的距离大1.(1)求动点
的轨迹的方程；(2)过
且斜率为的直线与轨迹交于，两点，，.①求
的值；②若
，，且满足直线和直线的斜率之和恒为0，求的值.
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名校
解题方法
10 . 已知抛物线
的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在
上.
(1)若直线AB的方程为
，且点F为的重心，求p的值；
(2)设
，直线AB经过点
，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且
，求点D的轨迹方程.
的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.(1)若直线AB的方程为
，且点F为的重心，求p的值；(2)设
，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.
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2024-01-18更新
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608次组卷
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4卷引用：辽宁省朝阳市部分学校2024届高三上学期12月考试数学试题
