1 . （1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.

2 . 已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为.

3 . （1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？
（2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？

4 . 若展开式中各项的二项式系数和为256.
（1）求n；
（2）求展开式中含x的项.

5 . 定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.

6 . 将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？

7 . 已知，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

8 . 已知数列满足：，，.
（1）化简：（结果用表示）.
（2）求证：，.

9 . 对于给定正整数，设，记.
（1）计算的值；
（2）求.

10 . 已知数列的通项公式为，，记.
（1）求，的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.