4 . 记数列中前项的最大值为，数列称为的“数列”，由所有的值组成的集合为．
(1)若，且中有3个元素，求的取值范围；
(2)若数列，都只有4项，为的“数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数；
(3)若，的“数列”的前n项和为，从，，，…，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求．

5 . 有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．

6 . 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

7 . 身份证号码是我国公民最常用的代码，共有18位，其中前17位代码都是0﹣9的数字，第18位代码，又称为校验码，为0﹣9或罗马数字X（值为10），校验码是由前17位数字所决定的，确定规则如下：若某人身份证号为，在前17位代码已生成的情况下，校验码使得M除以11所得的余数始终为1，其中．例如甲的身份证号为230101203010101230（非实例），则.
(1)若乙的身份证号前17位是23010120301014231，校验码未知，根据表格中数据求乙身份证号的校验码；

位次（n）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
除以11的余数	7	9	10	5	8	4	2	1	6	3	7	9	10	5	8	4	2	1

(2)丙的身份证号后四位数中有一位记错了，若丙记得自己的身份证号为230101203010143018，已知该错误的身份证号计算得到的M为11的整数倍，请写出有可能成为他身份证号后四位的所有结果；
(3)已知丁的身份证号为23010120301014______   ______1______，若第15和16位数码是随机产生的，设校验码的数值为随机变量X，求X的分布列及E（X）．

9 . 若函数在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间上的“可加函数”单调递减，证明：；
(2)若对任意及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；
(3)设随机变量的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.

10 . 某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（       ）个月.

A．7

B．8

C．9

D．10