解题方法
1 . 现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换,记为一次操作.重复进行
次操作后,记甲盒子中黑球个数为
,甲盒中恰有1个黑球的概率为
,恰有2个黑球的概率为
.
(1)求随机变量
的分布列;
(2)求数列
的通项公式;
(3)求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6368fec0c2c25db7c29b014d60270e97.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/686ece75006ad358f23314dc8a246e11.png)
(1)求随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/096b1ece1dcd29c59a46a4b3e02cb548.png)
(2)求数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
(3)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e067aeb203bc5ce00c9dc47aa34cee5e.png)
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解题方法
2 . 2024年1月11日,记者从门头沟区两会上获悉,目前国道109新线高速公路(简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成,项目整体进度已达到
,预计今年上半年开始通车,通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处(分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利,为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民,对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查(问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口),具体情况如下:
(假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立,且均选择上表中的一个高速出口下高速)。
(1)从被调查的居民中随机选1人,求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率;
(2)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人,从出行旅游的人中随机抽取1人,这三人中从斋堂出口下高速的人数记为
,求
的分布列和数学期望;
(3)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人,用 “
”表示此人从斋堂出口下高速,“
”表示此人不从斋堂出口下高速:从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人,用 “
”表示此人从斋堂出口下高速,“
”表示此人不从斋堂出口下高速,写出方差
的大小关系. (结论不要求证明).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90198de4171921876c6a76f880377f46.png)
(假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立,且均选择上表中的一个高速出口下高速)。
项目 | 斋堂出口 | 清水出口 | 安家庄出口 | 雁翅出口 | 火村出口 | 西台子出口 |
上班 | 40 | 8 | 2 | 5 | 3 | 2 |
旅游 | 30 | 20 | 10 | 10 | 12 | 8 |
探亲 | 16 | 10 | 10 | 5 | 5 | 4 |
(1)从被调查的居民中随机选1人,求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率;
(2)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人,从出行旅游的人中随机抽取1人,这三人中从斋堂出口下高速的人数记为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人,用 “
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/86ca24d3954514ba5af32fe46b0d549c.png)
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名校
解题方法
3 . 若
,
是样本空间
上的两个离散型随机变量,则称
是
上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设
的一切可能取值为
,
,记
表示
在
中出现的概率,其中
.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为
,2号盒子中的小球个数为
,则
是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量
的所有可能取值;
②若
是①中的值,求
(结果用
,
表示);
(2)
称为二维离散型随机变量
关于
的边缘分布律或边际分布律,求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5c1116ce7f5a1a7b57517276d5092fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cffa35373ec4e4684107b42adb7a5161.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4d15d2e2dc5b64da00f2f90613f6b73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cffa35373ec4e4684107b42adb7a5161.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4d15d2e2dc5b64da00f2f90613f6b73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fadab9bb02100d7e9f12989b89721482.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66ae8920473eb5e860b0d625d0fe07eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8038ba89dea0aa5c0e760bb5ed5f8561.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fadab9bb02100d7e9f12989b89721482.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cffa35373ec4e4684107b42adb7a5161.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00e2fc8dcdb957351e81bd926db46ef9.png)
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5c1116ce7f5a1a7b57517276d5092fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4d15d2e2dc5b64da00f2f90613f6b73.png)
①写出该二维离散型随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4d15d2e2dc5b64da00f2f90613f6b73.png)
②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a64d924836b4292239d9726c6473d7f5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a061d6375056092d2d831bd7cae6988.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fbefad0c67ac64be204e45c95b2dc35.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4d15d2e2dc5b64da00f2f90613f6b73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
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2024-03-29更新
|
2032次组卷
|
4卷引用:山东省潍坊市2024届高三一模数学试题
4 . 甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留继续投掷骰子;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率;
(2)投掷
次骰子后,记球在乙手中的概率为
,求数列
的通项公式;
(3)设
,求证:
.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率;
(2)投掷
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/960b682f983b053dc9064cf29c97e250.png)
(3)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84c9832dab241ad07aae29b34f9554ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ed01df9608f1a2881874b6dc6d5fd1d.png)
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5 . 如图,已知正方体
顶点处有一质点
,点
每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次,若质点
的初始位置位于点A处,记点
移动
次后仍在底面
上的概率为
.
;
(2)①求证:数列
是等比数列;
②求
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acc290b44635265137fdf13146b6a6d9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b9cb8e6ff801523b0304576cd69fd2d.png)
(2)①求证:数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7df0c50dc04f2e056ccf81192a00de24.png)
②求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8485f26b7dc1d6ab3880e9395041a8a2.png)
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2024-05-17更新
|
1194次组卷
|
3卷引用:江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题
江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷(已下线)专题07 概率与统计综合问题(6类题型)-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(江苏专用)
名校
6 . 甲、乙、丙、丁四人练习传球,每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球,已知甲首先发球,连续传球
次后,记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为
.
(1)当
时,求球又回到甲手中的概率;
(2)当
时,记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量
,求
的分布列与数学期望;
(3)记
,求证:数列
从第3项起构成等比数列,并求
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4290055b7f8e0dc432d011c858b983a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21c72eb6ab46e9f3ffe71cdf050e5666.png)
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名校
解题方法
7 . 习近平总书记高度重视体育运动的发展,将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起,多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强,国运兴则体育兴”,为了响应总书记的号召,某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟),得到下表:
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育实践活动时间在
的概率;
(2)从该校参加体育实践活动时间在
学生中随机抽取2人,在
的学生中随机抽取1人,求其中至少有1名初中学生的概率;
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为
,初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为
,
,试比较
与
的大小关系.(结论不要求证明)
时间人数类别 | |||||||
性别 | 男 | 5 | 12 | 13 | 8 | 9 | 8 |
女 | 6 | 9 | 10 | 10 | 6 | 4 | |
学段 | 初中 | 10 | |||||
高中 | 4 | 13 | 12 | 7 | 5 | 4 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8826cd3a88388c3896b1e429fabd437f.png)
(2)从该校参加体育实践活动时间在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a40cf767fd2a684f2f1ed9216836792.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f8c2a91a15e1f7b296b64d3bd2e7551.png)
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e34bde9ce11f753f3e3631fbd0112fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b915ea3069054b7389cee9827dd613c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c55ec3fc6a2a218803229a6fe3ab2679.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e34bde9ce11f753f3e3631fbd0112fa.png)
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8 . 组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产,为了扩大收益需要组合高收益资产,现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X,单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按
进行组合投资,则投资收益的随机变量Z满足
,其中
.假设在组合投资中,可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.
(1)若
,
,求Z的期望与方差;
(2)已知随机变量X满足分布列:
随机变量Y满足分布列:
且随机变量X与Y相互独立,即
,
,
.求证:
;
(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产的一倍.投资项目
是低风险资产,满足
.试问
能否满足投资第1年的收益不低于17万,风险不高于500?请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38dbb8ff74f37f9f30ccc116b25c4c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa7023775b43da9414a7e0418f1d72bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd3ede869e508a8c8bda34a16782f863.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abdb06b53dc96b293381556f72249756.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/558e11d700481dc414d5d073b4b88a3d.png)
(2)已知随机变量X满足分布列:
X | … | … | |||||
… | … |
Y | … | … | |||||
… | … |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26c6ea36362a2a2be3a305def74b5503.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa7023775b43da9414a7e0418f1d72bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b6a75ef99a70ae69f5842779327b59e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7823e1318ceb97a9d1ad9ccac512697f.png)
(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产的一倍.投资项目
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abdb06b53dc96b293381556f72249756.png)
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解题方法
9 . 北京市共有16个行政区,东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区,其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告(2023)》显示,2022年北京市常住人口为2184.3万人,由城镇人口和乡村人口两个部分构成,各区常住人口数量如下表所示:
(1)在16个行政区中随机选择一个,求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率;
(2)若随机从中心城区选取1个,非中心城区选取2个行政区,记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为
,求
的分布列及数学期望
;
(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为
,
,
.试判断
,
,
的大小关系.(结论不要求证明)
行政区 | 东城区 | 西城区 | 朝阳区 | 丰台区 | 石景山区 | 海淀区 | 门头沟区 | 房山区 |
城镇人口(万人) | 70.4 | 110 | 343.3 | 199.9 | 56.3 | 305.4 | 36.2 | 102.6 |
乡村人口(万人) | 0 | 0 | 0.9 | 1.3 | 0 | 7 | 3.4 | 28.5 |
行政区 | 通州区 | 顺义区 | 昌平区 | 大兴区 | 怀柔区 | 平谷区 | 密云区 | 延庆区 |
城镇人口(万人) | 137.3 | 87.8 | 185.9 | 161.6 | 32.8 | 27.9 | 34.9 | 20.5 |
乡村人口(万人) | 47 | 44.7 | 40.8 | 37.5 | 11.1 | 17.7 | 17.7. | 13.9 |
(2)若随机从中心城区选取1个,非中心城区选取2个行政区,记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为
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名校
10 . 用n个不同的元素组成m个非空集合(
,每个元素只能使用一次),不同的组成方案数记作
例如,用1,2,3,4这4个元素组成2个非空集合共有7种方案,即
;
;
;
;
;
;
.于是
.
(1)求和:
;
(2)证明:当
时,
;
(3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办,打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办(款式随机,且获得每种款式的概率都相同)
①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p;
②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X,求X的数学期望
.
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(1)求和:
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(2)证明:当
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(3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办,打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办(款式随机,且获得每种款式的概率都相同)
①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p;
②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X,求X的数学期望
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