名校
解题方法
1 . 概率论中有很多经典的不等式,其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下:
设为一个非负随机变量,其数学期望为,则对任意,均有,
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:
设的分布列为其中,则对任意,,其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的期望为,方差为,则对任意,均有
(1)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立.
(2)某药企研制出一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为.现随机选择了100名患者,经过使用该药治疗后,治愈的人数为60人,请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.
设为一个非负随机变量,其数学期望为,则对任意,均有,
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:
设的分布列为其中,则对任意,,其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的期望为,方差为,则对任意,均有
(1)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立.
(2)某药企研制出一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为.现随机选择了100名患者,经过使用该药治疗后,治愈的人数为60人,请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.
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2023-05-27更新
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2721次组卷
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11卷引用:陕西省铜川市2024届高三一模数学(理)试题
陕西省铜川市2024届高三一模数学(理)试题吉林省东北师范大学附中2023届高三下学期七模数学试题吉林省长春市东北师范大学附属中学2023届高三第七次模拟考试数学试题(已下线)第四篇 概率与统计 专题4 分赌注问题 微点1 分赌注问题(已下线)高三开学收心考试模拟卷(已下线)第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征(六大题型)(讲义)(已下线)重难点突破01 概率与统计的综合应用(十八大题型)-2广东省佛山市2024届高三上学期教育教学质量检测模拟(一)数学试题(已下线)随机变量及其分布专题15离散型随机变量的分布列(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大题型)(练习)
名校
2 . 已知随机变量,二项式,则下列说法正确的是( )
A. |
B.二项式的展开式中所有项的系数和为256 |
C.二项式的展开式中含项的系数为252 |
D.的展开式中含项的系数为5418 |
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2023-05-22更新
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786次组卷
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4卷引用:陕西省渭南市渭南中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题
解题方法
3 . 某大型企业生产的产品细分为个等级,为了解这批产品的等级分布情况,从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计,并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀,检测到级到6级的评为良好,检测到级到级的评为合格,检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率,现有如下检测统计表:
(1)从这件产品中随机抽取件,请估计这件产品评分为优良的概率;
(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品,设这件产品中评分为优秀的产品个数为,求的分布列及期望.
等级 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 10 | 90 | 100 | 150 | 150 | 200 | 100 | 100 | 50 | 50 |
(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品,设这件产品中评分为优秀的产品个数为,求的分布列及期望.
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4 . 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择.某社区开展有关垃圾分类的知识测试.已知测试中有A,B两组题,每组都有4道题目,甲对A组其中3道题有思路,1道题完全没有思路.有思路的题目每道题做对的概率为,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为.甲对B组每道题做对的概率为0.6,甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题.
(1)若甲选择从A组中任选2道题,设X表示甲答对题目的个数,求X的分布列和期望;
(2)以答对题目数量的期望为依据,判断甲应该选择哪组题答题.
(1)若甲选择从A组中任选2道题,设X表示甲答对题目的个数,求X的分布列和期望;
(2)以答对题目数量的期望为依据,判断甲应该选择哪组题答题.
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2023-05-05更新
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1160次组卷
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3卷引用:陕西省榆林市2023届高三四模理科数学试题
5 . 从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.
(1)求这100份数学试卷的样本平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)在样本中,从数学成绩不低于125分的试卷中,随机抽取3份进行答卷情况分析,设为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数,求的分布列及数学期望.
(1)求这100份数学试卷的样本平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)在样本中,从数学成绩不低于125分的试卷中,随机抽取3份进行答卷情况分析,设为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数,求的分布列及数学期望.
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6 . 某射手每次射击击中目标的概率均为,且各次射击的结果互不影响.设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数,若,则P的值为( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-04-21更新
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816次组卷
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5卷引用:陕西省西安市第三中学2022-2023学年高二下学期第二次月测评理科数学试题
7 . 为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,铜川市推出了两套方案,并分别在、两个大型居民小区内试行.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:,,,,,,并整理得到如图所示的频率分布直方图:
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表);
(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?
(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人,用表示赞成该小区推行方案的人数,求的分布列及数学期望.
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表);
(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?
(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人,用表示赞成该小区推行方案的人数,求的分布列及数学期望.
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2023-04-20更新
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505次组卷
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3卷引用:陕西省铜川市2023届高三二模理科数学试题
8 . 牛排主要分为菲力牛排,肉眼牛排,西冷牛排,T骨牛排,某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒,利用牛排的分类标准得到的数据如下:
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒,再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒,求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率;
(2)若将频率视为概率,用样本估计总体,从这批牛排中随机抽取3盒,若X表示抽到的菲力牛排的数量,求X的分布列和数学期望.
牛排种类 | 菲力牛排 | 肉眼牛排 | 西冷牛排 | T骨牛排 |
数量/盒 | 20 | 30 | 20 | 30 |
(2)若将频率视为概率,用样本估计总体,从这批牛排中随机抽取3盒,若X表示抽到的菲力牛排的数量,求X的分布列和数学期望.
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2023-04-18更新
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753次组卷
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14卷引用:陕西师范大学附属中学渭北中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题
陕西师范大学附属中学渭北中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题北京市昌平区前锋学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题贵州省卓越发展计划2022-2023学年高二下学期6月测试数学试题河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高二下学期7月月考数学试题(已下线)模块三 专题6 概率--(基础夯实练)(苏教版高二)贵州省凯里市第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题(已下线)高二下学期期末押题卷01-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义(人教A版2019选择性必修)福建省福州第八中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题吉林省白城市通榆县第一中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题山西省大同市云冈区现代双语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷北京高二专题12概率与统计(第二部分)
名校
9 . 某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况,随机抽取了该地200名观众进行调查,下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间(单位:时)的频率分布表:
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关;
(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布,现从该地的电视观众中随机抽取4人,记这4人中的“足球迷”人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
日均收看世界杯时间(时) | ||||||
频率 | 0.1 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关;
非足球迷 | 足球迷 | 合计 | |
女 | 70 | ||
男 | 40 | ||
合计 |
参考公式:,其中.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-04-16更新
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517次组卷
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6卷引用:陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题
陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题河南省十所名校2022-2023学年高中毕业班阶段性测试(六)理科数学试题河南省商丘市部分学校2022-2023学年高中毕业班阶段性测试(六)理科数学试题(已下线)成对数据的统计分析章末测试卷(二)-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第三册)四川省成都市田家炳中学2024届高三第一次月考理科数学试题四川省乐山市金口河区延风中学2024年高三上学期9月月考数学(理科)试题
解题方法
10 . 为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
减排器等级分布如表.
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取4件,求至少有2件一级品的概率;
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数的分布列及数学期望.
减排器等级分布如表.
综合得分k的范围 | 减排器等级 |
一级品 | |
二级品 | |
三级品 |
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数的分布列及数学期望.
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