1 . 已知数列满足，，其中为常数，.
（1）求，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

2 . 正数数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图像上．
（1）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
（2）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．

5 . 已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”
（1）判断函数，是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“函数”，且存在满足条件的有实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域．

6 . 设等差数列的前项和为且对任意都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：当时，．

7 . 设、、、是整数、、、的一个排列，且满足：
（Ⅰ）；
（Ⅱ），记上述排列的个数为．
（1）求、、、的值；
（2）求证：时，；
（3）试求被除的余数．

8 . 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．

10 . 已知集合，若且，则称 为集合生成的一个“交错数”，所有“交错数”组成的集合称为集合生成的交错集
（1）写出集合生成的交错集；
（2）若集合，求证：集合的交错数各不相同；
（3）无穷数列的前项和为，且对任意都有.记，判断集合生成的交错集与正整数集的关系，并说明理由.