23. 问题提出:最长边长为128的整数边三角形有多少个?(整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形),
问题探究:为了探究规律,我们先从最简单的情形入手,从中找到解决问题的方法,最后得出一般性的结论。
(1)如表①,最长边长为1的整数边三角形,显然,最短边长是1,第三边长也是1.
按照(最长边长,最短边长,第三边长)的形式记为
,有1个,所以总共有
个整数边三角形,表①:
最长边长 | 最短边长 | (最长边长,最短边长,第三边长) | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
1 | 1 | | 1 | 1个1 | |
(2)如表②,最长边长为2的整数边三角形,最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边,当最短边长为1时,第三边长只能是2,记为
,有1个;当最短边长为2时,显然第三边长也是2,记为
,有1个,所以总共有
个整数边三角形. 表②:
最长边长 | 最短边长 | (最长边长,最短边长,第三边长) | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
2 | 1 | | 1 | 2个1 | |
2 | | 1 |
(3)下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:表③:
最长边长 | 最短边长 | (最长边长,最短边长,第三边长) | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
3 | 1 | | 1 | 2个2 | |
2 | , | 2 |
3 | | 1 |
(4)下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:表④:
最长边长 | 最短边长 | (最长边长, 最短边长,第 三边长) | 整数边三角形个数 | 计算方式 | 算式 |
4 | 1 | (4,1,4) | 1 | 3个2 | 2×3 |
2 | (4,2,3), (4,2,4) | 2 |
3 | (4,3,3), (4,3,4) | 2 |
4 | (4,4,4) | 1 |
(5)请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:表⑤:
最长边长 | 最短边长 | (最长边长,最短边长,第三边长) | 整数边三角形个数 | 计算方法 | 算式 |
5 | 1 | | 1 | | |
2 | , | 2 |
3 | | |
4 | , | 2 |
5 | | 1 |
问题解决:
(1)最长边长为6的整数边三角形有
个;
(2)在整数边三角形中,设最长边长为
n,总结上述探究过程,当
n为奇数或
n为偶数时,整数边三角形个数的规律一样吗?请写出最长边长为
n的整数边三角形的个数;
(3)最长边长为128的整数边三角形有
个;
拓展延伸:在直三棱柱中,若所有棱长均为整数,则最长棱长为9的直三棱柱有
个.