1 . 已知函数.
(1)当为何值时,为偶函数,说明理由;
(2)若,证明:;
(3)若,求证:有两个不相等的实数根.

3 . 已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：．

4 . 已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围．

5 . 对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．
(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；
(2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围；
(3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．

6 . 已知函数
(1)求证：不论取何值，函数总存在零点．
(2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
(3)对于给定的正数，存在一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立，求的表达式．

7 . 已知函数.
(1)若方程有4个不相等的实数根.求证：.
(2)是否存在实数，使得在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 设函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若，记，求证：函数在上有零点.

9 . 已知一次函数与二次函数满足，且．
(1)求证：函数与的图像有两个不同的交点、；
(2)设、是、两点在轴上的射影，求线段长度的取值范围.

10 . 设常数，函数.
(1)当时，判断并证明函数在的单调性；
(2)当时，若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围.