名校
解题方法
1 . 对于一组向量
，（
且
），令
，如果存在
，使得
，那么称
是该向量组的“长向量”．
(1)设
，且
，若
是向量组
的“长向量”，求实数
的取值范围；
(2)若
且，向量组
是否存在“长向量
”？若存在，求出正整数
；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中
，
．设在平面直角坐标系中有一点列
满足，
为坐标原点，
为
的位置向量的终点，且
与
关于点对称，
与（
且
）关于点对称，求
的最小值．
，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．(1)设
，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；(2)若
且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；(3)已知
均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
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解题方法
2 . 重庆南开中学校徽的核心图像为八角星形，八角星形由两个正方形叠加、结合而成，八个角皆为直角，分别指向东、西、南、北、东南、东北、西南、西北八个方向.一是体现“方方正正做人”之意，二是体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.八角星形方圆互动，融合东西，体现了南开中学“智圆行方”的入世哲学、“追求卓越”的立世哲学和“允公允能”的济世哲学.如图，
，
，
，
，
，
，
，
是半径为1的
上的八个等分点，则以下说法正确的有（ ）
，，，，，，，是半径为1的上的八个等分点，则以下说法正确的有（ ）
A． |
B． |
C．若 在正方形 的边上移动， ，则 则 |
D．若在正方形的边上移动， 在正方形 的边上移动， 在圆 上移动，则 |
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解题方法
3 . 已知向量
满足：
为单位向量，且
与
相互垂直，又对任意
不等式
恒成立，若
，则
的最小值为（ ）
满足：为单位向量，且与相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）| A．4 | B．5 | C．6 | D．7 |
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解题方法
4 . 已知
与
都是非零有理数，则在
，
，
中，一定是有理数的有（ ）个.
与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个.| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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2024-05-07更新
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278次组卷
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2卷引用：重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题
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解题方法
5 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称
具有性质
．
(1)已知数集
，请写出数集
对应的向量集
，并判断是否具有性质（不需要证明）．
(2)若
，且
具有性质，求
的值；
(3)若具有性质，且
，
为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．(1)已知数集
，请写出数集对应的向量集，并判断是否具有性质（不需要证明）．(2)若
，且具有性质，求的值；(3)若
具有性质，且，为常数且，求证：．
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6 . 将所有平面向量组成的集合记作
，f是从到的映射，记作
或
，其中
，
，
，
，
，
都是实数．定义映射
的模为：在
的条件下
的最大值，记作
．若存在非零向量
，及实数
使得
，则称为的一个特征值．
(1)若
，求；
(2)若
，计算的特征值并求出相应的
；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
(3)若
，要使有唯一的特征值，实数
，
，
，
应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②
，并验证满足这两个条件．
，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．(1)若
，求；(2)若
，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）(3)若
，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．
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7 . 下列说法正确的有（ ）
A．在 中， ，则为锐角三角形 |
B．已知为的内心，且 ，则 |
C．已知非零向量 满足： ，则 的最小值为 |
D．已知 ，且 与 的夹角为钝角，则实数的取值范围是 |
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8 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其中
.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.
(1)用前三项计算
；
(2)已知
，
，
，试比较
，
，
的大小.
，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.(1)用前三项计算
；(2)已知
，，，试比较，，的大小.
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9 . 已知平面向量
，
，
满足：
，
，
，则
___________ ，且
的取值范围为___________ .
，，满足：，，，则的取值范围为
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名校
解题方法
10 . 已知函数
的图象如图所示，点B，D，F为
与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，而函数在
处取得最小值.
(2)若
，求向量
与向量
夹角的余弦值；
(3)若点P为函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，
恒成立，求A的取值范围.
的图象如图所示，点B，D，F为与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.
(2)若
，求向量与向量夹角的余弦值；(3)若点P为
函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，恒成立，求A的取值范围.
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2024-04-02更新
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361次组卷
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2卷引用：重庆市第十一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
