1 . 已知向量．
（1）求证：；
（2）是否存在不等于的实数和，使，且？如果存在，试写出的关系式；如果不存在，请说明理由．．

2 . 已知角的终边在第三象限，，证明：．

3 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
①；②；③；④.
（1）试从上述式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

4 . 如图所示，在梯形中，，是一个边长为6的等边三角形，，分别是，的中点，交于点.

（1）证明：；
（2）设，求的值.

5 . 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点.
（1）若点O满足，求证：；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积.

6 . 已知函数的定义域为，且满足，当时，有
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）对任意恒成立，求实数的取值范围．

7 . 定义运算：，函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间；
（3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到函数的图像，证明；存在无穷多个整数，使得．

8 . 已知函数.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）证明：对，，.

9 . 已知，.
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值.