1 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质．向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义．向量运算与几何图形性质的内在联系，使我们自然想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、便捷呢？在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度审视研究对象，而且还可以有所发现．三角形是几何中最简单的封闭图形，但它是最重要的基本几何图形之一．三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带．在平面几何中，我们已经研究过三角形的一些基本性质，但对三角形的认识还不够深入，例如对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识．因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的．

（1）①叙述余弦定理，并用向量的方法证明余弦定理；②直接写出余弦定理的向量表示（用，表示）．
（2）中，分别是的中点，O是重心，证明：对任意一点P，向量与共线．
（3）我们知道，三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，请你从下面两个问题中任选一个并解答（注：如果选择两个，则按第一个解答计分）①用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点．如图①所示，中，设边上的高交于点H，求证：边上的高过点H；②用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，的三边的中点分别为和边上的垂直平分线交于点O，求证：边上的垂直平分线过点O．

2 . 证明：（1）求证：；
（2）求证：;

3 . 在中，若，．
(1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
(2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
(3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）

4 . 已知函数，试根据下列要求研究函数的性质.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：是函数的一个周期；
（3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值.

5 . 已知平面向量、、满足条件，．
（1）求证：是正三角形；
（2）试判断直线与直线的位置关系，并证明你的判断．

6 . 在中，若，．
（1）若D为BC上的点，且，求证：；
（2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）

7 . 已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.

8 . 给出集合
(1)若求证:函数
(2)由(1)可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：
命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；
(3)设为常数,且求的充要条件并给出证明.

9 . 已知锐角中，，
(1)求证：；
(2)设，求AB边上的高.

10 . 已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．