1 . 已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.

2 . 已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求出的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.

3 . 已知，，.
（Ⅰ）求证：向量与垂直；
（Ⅱ）若与的模相等，求的值（其中为非零实数）.

4 . 已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求证：；
（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．

5 . 如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小

6 . 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.

（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.

7 . 已知，.
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值.

8 . 写出以下各式的值：
______；
______；
______．
结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．