1 . 对于任意正整数n,进行如下操作:若n为偶数,则对n不断地除以2,直到得到一个奇数,记这个奇数为;若n为奇数,则对不断地除以2,直到得出一个奇数,记这个奇数为.若,则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”;
(2)已知.求m的值;
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列,逐一取倒数后得到数列,记的前n项和为,证明:.
(1)求20以内的质数“理想数”;
(2)已知.求m的值;
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列,逐一取倒数后得到数列,记的前n项和为,证明:.
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2024-08-10更新
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589次组卷
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3卷引用:广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题
名校
解题方法
2 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图(1)是一个面积为1的实心正三角形,分别连接这个正三角形三边的中点,将原三角形分成4个小正三角形,并去掉中间的小正三角形得到图(2),再对图(2)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(3),再对图(3)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(4),…,依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为,第n个图形中实心区域的面积为.(1)写出数列和的通项公式;
(2)设,证明.
(2)设,证明.
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名校
3 . 已知数列的前三项均为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的各项均为正整数,且.
(ⅰ)若,,证明:为等差数列;
(ⅱ)若,为递增等差数列,求的最小值.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的各项均为正整数,且.
(ⅰ)若,,证明:为等差数列;
(ⅱ)若,为递增等差数列,求的最小值.
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名校
4 . 某企业现有,两条生产线,根据市场调查,生产线的利润(单位:万元)与投入金额(单位:万元)的关系式为,,生产线的利润(单位:万元)与投入金额(单位:万元)的关系式为,.假定且.
(1)求实数,,的值;
(2)该企业现有万元资金全部投入,两条生产线中,问:怎样分配资金,才能使企业获得最大利润?并求出最大利润.
(1)求实数,,的值;
(2)该企业现有万元资金全部投入,两条生产线中,问:怎样分配资金,才能使企业获得最大利润?并求出最大利润.
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5 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”,第一次得到数列:第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为(其中),并记;在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为(其中),当时,记.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
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2024-08-24更新
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336次组卷
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3卷引用:湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试卷
解题方法
6 . 已知数列,,,,设数列的前n项和为.数列的前n项积为,若,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:,.
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7 . 若数列满足:①;②对任意,与至少有一个是数列中的项,则称数列为友好数列.
(1)若数列既是等差数列又是友好数列,求证:;
(2)数列满足对任意,,且,数列,,为友好数列,求的值;
(3)若友好数列至少有5项,,且,求的前项和.
(1)若数列既是等差数列又是友好数列,求证:;
(2)数列满足对任意,,且,数列,,为友好数列,求的值;
(3)若友好数列至少有5项,,且,求的前项和.
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8 . 对任意正整数,定义的丰度指数,其中为的所有正因数的和.
(1)若,求数列的前项和;
(2)对互不相等的质数,证明:,并求的值.
(1)若,求数列的前项和;
(2)对互不相等的质数,证明:,并求的值.
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2024-06-25更新
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144次组卷
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2卷引用:江西省多校联考2023-2024学年高二下学期6月摸底考试数学试题
名校
9 . 奔驰定理是一个关于三角形的几何定理,它的图形形状和奔驰轿车logo相似,因此得名.如图,P是内的任意一点,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,总有优美等式:.
(2)若P是锐角的外心,,,求的取值范围.
(1)若P是的内心,,延长AP交BC于点D,求;
(2)若P是锐角的外心,,,求的取值范围.
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2024-06-18更新
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670次组卷
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5卷引用:山西省临汾市名校联考2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试题
名校
10 . 已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形.在锐角中,角所对的边分别为且,以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为,且的面积为,记为的外接圆半径.
(2)若,求面积的取值范围.
(1)若,求;
(2)若,求面积的取值范围.
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