1 . 已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.

2 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

3 . 已知抛物线过点，其焦点为，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆相切，切点分别为，求证：三点共线．

4 . 已知函数，，.
（1）当时，，求的取值范围；
（2）证明：当时，.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：
①；
②为线段的中点.

6 . 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”．
（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”．

7 . 已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，右准线与轴的交点为，，点为椭圆上一动点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当在椭圆的第一象限时，椭圆上存在点，使得，求直线与的斜率之积；
（3）若，过点作圆的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证：为定值.

8 . 已知函数（其中为自然对数的底数，）.
（1）试讨论函数零点的个数；
（2）当时，令，求证：不等式对恒成立.

9 . 已知F为抛物线焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB.
（1）证明：点M在一条定直线上；
（2）记点M所在定直线为l，与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求的面积的取值范围.

10 . 已知椭圆的左焦点为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.