1 . 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.

2 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若=0，求的值；
(3)证明：.

3 . 已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；
(2)若函数，，证明：.（其中为自然对数的底数）

4 . 已知函数，（其中a为非零实数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．

5 . 已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.

6 . 已知函数，
（1）证明：当时，；
（2）试讨论函数在上的零点个数.

7 . 已知，函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设是的导数.证明：
（i）在上单调递增；
（ii）当时，若，则.

9 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

10 . 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．