1 . 如图，圆的右焦点为，过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，点在轴上的射影恰好为，且.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线平行，当与椭圆有两个交点，(，位于直线的两侧)，求证：.

2 . 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．
（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．

3 . 已知函数f(x)＝．
（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；
（2）求证：．

4 . 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.

5 . 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且直线与相切．
（1）求的方程；
（2）设为的准线上一点，过作的两条切线切点为，，证明：．

6 . 已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求a的值；
（2）若函数的图象在直线图象的下方，求a的取值范围；
（3）求证：.

7 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于M，N两点，求证：．

8 . 已知函数．
（1）求函数图象在处的切线方程．
（2）证明：．

9 . 已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）证明：对任意，都有．

10 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.