1 . 已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.

2 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若=0，求的值；
(3)证明：.

3 . 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线上不同的三点，且，若点的横坐标为8，证明：直线过定点.

4 . 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点．
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

6 . 已知.
（1）求的单调区间；
（2），若有两个零点，且求证：.（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）

7 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆右顶点，过点作斜率不为的直线与曲线交于两点，求证：.

8 . 设函数
(1)证明：在上单调递增;
(2)若恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，求证：有且只有一个零点；
(3)设且，求证：.

10 . 已知A，B分别为椭圆的左，右顶点，G为E的上顶点，.P为椭圆外一点，与E的另一交点为C，与E的另一交点为D，且.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)证明：直线过定点.