1 . 已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值.

2 . 已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k₁，k₂的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.

3 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

4 . 已知函数.
(1)讨论零点的个数；
(2)设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.

5 . 已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：对任意的，当时，.

6 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.

7 . 设.
（1）求证：函数一定不单调；
（2）试给出一个正整数，使得对恒成立.
（参考数据：，，）

8 . 已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.

9 . 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，若，是函数的两个极值点，求证：．

10 . 已知函数.
（1）判断的单调性，并比较与的大小；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：