1 . 设抛物线
与
相切，则
______ ．
与相切，则
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2 . 求函数
的取值范围．
的取值范围．
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3 . 材料：对抛物线
，定义：点
叫做该抛物线的焦点，直线
叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：
如图，已知抛物线
的图象与
轴交于
两点，且过点
，
(1)求抛物线
的解析式和点A的坐标；
(2)若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线
的图象．
①设
为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，
轴于点
，求
的最小值；
②若过抛物线的焦点
作直线
，与抛物线交于
两点，再过两点分别做抛物线的切线，两条切线交于点
，求
的值．
，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线
的图象与轴交于两点，且过点，(1)求抛物线
的解析式和点A的坐标；(2)若将抛物线
的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象．①设
为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值；②若过抛物线
的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别做抛物线的切线，两条切线交于点，求的值．
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4 . 已知抛物线
经过点
.设点
，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得
的值最大，则D点的坐标为_______
经过点.设点，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得的值最大，则D点的坐标为
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5 . 如图，过抛物线
上一点P作切线l，过O点作l的垂线交
于点Q，
，则
的面积是_________ ．
上一点P作切线l，过O点作l的垂线交于点Q，，则的面积是
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6 . 已知椭圆
的焦点坐标为
，若直线l与椭圆
相切，点
到直线l的距离分别为
．证明：
(1)
．
(2)
(3)
．
的焦点坐标为，若直线l与椭圆相切，点到直线l的距离分别为．证明：(1)
．(2)
(3)
．
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7 . 已知函数
在定义域
上严格单调递增．
(1)证明：函数至多存在一个零点．
(2)若函数存在零点
，证明：存在
，使得
对于任意
恒成立的充分必要条件是
．
在定义域上严格单调递增．(1)证明：函数
至多存在一个零点．(2)若函数
存在零点，证明：存在，使得对于任意恒成立的充分必要条件是．
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8 . 已知函数
，其中
．
(1)证明：有唯一零点．
(2)设为函数的零点，证明：
①
；
②
．
参考数据：
．
，其中．(1)证明：
有唯一零点．(2)设
为函数的零点，证明：①
；②
．参考数据：
．
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9 . 如图，已知抛物线
，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线
交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K．
(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．
(2)连结
，记
的面积分别为
，求
的最小值．
，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K．(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．
(2)连结
，记的面积分别为，求的最小值．
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10 . 已知双曲线
左右焦点分别为，过点
作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若
，则该双曲线的渐近线方程为__________ ．
左右焦点分别为，过点作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若，则该双曲线的渐近线方程为
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2023-02-07更新
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551次组卷
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3卷引用：2021年清华大学文科营暨工科营（冬令营）数学试题
