1 . 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．
(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．
①当取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使为定值．

2 . 已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.

3 . 定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．

4 . 已知抛物线，是抛物线上的三点，且满足，过作于点．
(1)若，求证直线过定点；
(2)设，记点轨迹围成的图形的面积为，记的面积为，当直线的倾斜角不是钝角时，求的最小值．

5 . 已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：为定值.

6 . 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.
(1)已知，.
①写出，写出（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时x的值；
(2)设，，求证：
(3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标.

7 . 如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）

(1)若，设平面面，求证：；
(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.

8 . 已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

10 . 求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件．