1 . 在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时，________.

2 . 已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（       ）

A．点的轨迹为菱形及其内部

B．当时，点的轨迹长度为

C．最小值为

D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为

3 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

4 . 已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上．

5 . 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值．

6 . 已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（       ）．

A．当时，异面直线与所成角的正切值为

B．当时，四面体的体积为定值

C．当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分

D．当时，四面体的外接球的表面积为

8 . 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．

   

(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

9 . 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.