1 . 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，设，．

(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面的夹角的余弦值最大．

2 . 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．

(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值．

3 . 已知椭圆的焦距为8，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于两点，试问直线上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由.

4 . 如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．

(1)求证：平面EAC；
(2)求直线DM到平面EAC的距离．

5 . 如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．

(1)求证：∥平面；
(2)求平面与平面夹角的大小．

8 . 河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m．

(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程；
(2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？

9 . 如图，经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点．

(1)判断以为直径的圆与准线的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线平行于抛物线的对称轴．

10 . 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．