1 . 已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．

2 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁(﹣2，0)，A₂(2，0)，右准线方程为x＝4．过点A₁的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A₂D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A₁D交于点H．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若HG⊥A₁D，试求直线A₁D的方程；
（3）如果，试求的取值范围．

3 . 在平面直角坐标系中，设椭圆的左焦点为，左准线为为椭圆上任意一点，直线，垂足为，直线与交于点．

（1）若，且，直线的方程为．①求椭圆的方程；②是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线与圆交于两点，求证：直线均与圆相切．

4 . 已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k₁、k₂,求证：k₁+k₂为定值．

5 . 已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为，，则＝﹣1，是与点P的位置无关的定值．
（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；
（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作⊥PA，⊥PB，直线，交于点C，直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）．

6 . 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．

7 . 在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右顶点(如图所示)，点在椭圆的长轴上运动，且.设圆是以点为圆心，为半径的圆.
（1）若，圆和椭圆在第一象限的交点坐标为，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的离心率为，过点作互相垂直的两条直线，交椭圆于P,Q两点，若直线PQ过点M，求m的值（用含的代数式表示）；
（3）当圆与椭圆有且仅有点一个交点时，求的运动范围（用含的代数式表示）.

8 . 已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．

9 . 已知椭圆：，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线：.
（1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为H，过点F的直线l与抛物线的交点为A，B，且．
求证：；
求的值．