1 . 设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．
(1)若，求的一个二阶划分，使得；
(2)若．求证：不存在的二阶划分满足；
(3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．

2 . 已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．

5 . 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（       ）

A．	B．
C．	D．

6 . 如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合.
给出下列四个结论：
①该生物种群的数量不会超过10；
②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；
③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；
④该生物种群数量的增长速度最大的时间.
根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.

8 . 定义数列如下：，对任意的正整数，有.
（1）写出，，，的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）是否每一个非负整数都在数列中出现？证明你的结论.

9 . 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
（1）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计．
（2）建立模型
记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，
金属用料总量为C．
由几何知识得到如下数量关系：
①
②

由①得，代入②整理得：．

因为都是常数，不妨设，
则用料总量的函数简化为．
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________．
（3）求解模型：
所以，在___________(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（4）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
（5）模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：_________________________________________________________________________________________________．
相应改进措施为：_________________________________________________________________________________________________________________________________．

10 . 设函数，下列命题中真命题的个数为（       ）
①是奇函数；
②当时，；
③是周期函数；
④存在无数个零点；
⑤，，使得且

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个