1 . 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
(1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．

2 . 已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．

3 . 若对任意的实数k，b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
(1)判断函数是否为“恒切函数”；
(2)若函数是“恒切函数”，求证：．

5 . 已知函数f（x）＝（1+x）^t﹣1的定义域为（﹣1，+∞），其中实数t满足t≠0且t≠1.直线l：y＝g（x）是f（x）的图象在x＝0处的切线.
（1）求l的方程：y＝g（x）；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，试确定t的取值范围；
（3）若a₁，a₂∈（0，1），求证： .注：当α为实数时，有求导公式（x^α）′＝αx^α﹣1.

6 . 已知函数是的导函数，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．

7 . 已知函数为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；
（3）关于的方程有两个实根，求证：．

8 . 已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，记函数，设是方程的两个根，是的等差中项. 为函数的导函数，求证：.