1 . 已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．

2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当恒成立时，求的取值范围；
(3)证明：.

3 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

4 . 设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.
(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.

5 . 已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．

6 . 已知函数．（是自然对数的底数）
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若，证明：对任意，成立；
(3)若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．

7 . 已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.

8 . 设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.

10 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：对任意的.