1 . 已知函数.
(1)若，求函数过点的切线方程;
(2)证明:当时，.

2 . 2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产产品．经过市场调研，生产产品的固定成本为300万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．

3 . 已知函数.
(1)若函数在处取得极值，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围;
(2)若，讨论方程根的个数.

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时，讨论函数的极值;

5 . 已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“下界函数”．
(1)如果函数为的一个“下界函数”，求实数的取值范围；
(2)设函数，试问函数是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

6 . 已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若关于x的方程有且只有一个解，求a的取值范围．

7 . 记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

8 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．

9 . （1）已知：复数，其中为虚数单位，求及；
（2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值．

10 . 已知函数有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.