1 . 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.

2 . 已知直线与曲线和都相切，倾斜角为α，直线与曲线和都相切，倾斜角为β，则取最小时，实数a的值为__________________.

3 . 已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（       ）

A．如果，则，，使得

B．如果，则，，使得

C．如果，则，，使得

D．如果，，使得，则，，便得

4 . “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点，，且N~M，求的坐标；
(2)证明：若为的镜像函数，，则；
(3)已知函数，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．

5 . 阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；例如；
回答以下问题：
(1)直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
(2)求出，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．

6 . 我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．

(1)如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；

(2)在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．

7 . 某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．

8 . 如果，记为区间内的所有整数．例如，如果，则；如果，则或3；如果，则不存在．已知，则（       ）

A．36

B．35

C．34

D．33

9 . 求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．

10 . 函数图像与轴的两交点为
(1)令，若有两个零点，求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：当时，以为直径的圆与直线恒有公共点．
（参考数据：）