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解题方法
1 . 已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求该切线方程；
(2)若
是
的一个极值，求满足此条件的实数
的值；
(3)若
是方程
的两个不相等的实数根，求证：
.
（注：
是的导函数）
.(1)若曲线
在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；(2)若
是的一个极值，求满足此条件的实数的值；(3)若
是方程的两个不相等的实数根，求证：.（注：
是的导函数）
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解题方法
2 . 已知函数
(1)若函数
，证明：
在
上恒成立；
(2)若
，且
，证明：
.
(1)若函数
，证明：在上恒成立；(2)若
，且，证明：.
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解题方法
3 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，
为自然对数的底数，
．以上公式称为泰勒公式．设
，
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设实数
使得
对
恒成立，求的最大值．
，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)证明：
；(2)设
，证明：；(3)设实数
使得对恒成立，求的最大值．
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解题方法
4 . 已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求函数在
上的最小值；
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
．(1)求函数
的最小值；(2)求函数
在上的最小值；(3)若不等式
恒成立，求实数的取值范围．
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5 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，
，函数在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
.（注：
，
为
的导数）已知
在处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)设为实数，讨论方程
的解的个数.
，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.(1)求实数
的值；(2)证明：当
时，；(3)设
为实数，讨论方程的解的个数.
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6 . 若函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数
与
的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设
，
的零点为
，
，求证：“存在
，使得点
与
是函数
的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“
是数列
中的项”.
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数
与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若
，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设
，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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7 . 已知数列
的通项为
，前项和为
，则下列选项中正确的有（ ）
的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（ ）A．如果 ，则 ， ，使得 |
B．如果 ，则 ， ，使得 |
C．如果 ，则，，使得 |
D．如果， ，使得 ，则， ，便得 |
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7日内更新
|
495次组卷
|
2卷引用：湖北省黄石市第二中学2023-2024学年高三下学期三模考试数学试题
8 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和
，使得
成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．
(1)证明：当
时，函数
是“跃然”函数；
(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．(1)证明：当
时，函数是“跃然”函数；(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
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9 . 已知函数
（为正实数）.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)若有两个不同的极值点
.
（i）证明：
；
（ii）设恰有三个不同的零点
.若
，且
，证明：
.
（为正实数）.(1)讨论函数
极值点的个数；(2)若
有两个不同的极值点.（i）证明：
；（ii）设
恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
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10 . 已知函数
的图象经过
两点，且的图象在处的切线互相垂直，则实数的取值范围是__________ .
的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则实数的取值范围是
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