2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点,对于且,且,若都有,则称与关于点互穿;若都有,则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为,导函数分别为与,与的图象在上有且仅有一个交点,与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
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解题方法
2 . 已知函数,若函数有唯一极值点,则实数的取值范围是_________ .
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3 . 已知是定义在上的奇函数,当时,,则( )
A.的极大值点为 |
B.函数的零点个数为3 |
C.函数的零点个数为7 |
D.的解集为 |
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4 . 已知函数.
(1)若,求函数的单调性;
(2)若存在极值点,求实数的取值范围;
(3)若在处取得极值,证明:.
(1)若,求函数的单调性;
(2)若存在极值点,求实数的取值范围;
(3)若在处取得极值,证明:.
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5 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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6 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
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解题方法
7 . 已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
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8 . 已知函数是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
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9 . 已知函数有三个不同的零点,其中则的值为__________ .
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10 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
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