名校
解题方法
1 . 已知函数
，存在
，使得
成立.给出下列四个结论:
①当
时，
; ②当
时，
;
③当时，
; ④当时，
.
其中所有正确结论的序号是________________ .
，存在，使得成立.给出下列四个结论:①当
时，; ②当时，;③当
时，; ④当时，.其中所有正确结论的序号是
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2 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位：
）至少为（ ）
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2024-05-08更新
|
1043次组卷
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2卷引用：北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题
名校
解题方法
3 . 数列
的前
项和为
，若数列与函数
满足：
（1）的定义域为
；
（2）数列与函数均单调递增；
（3）
使
成立，
则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：
①
与
具有“单调偶遇关系”；
②
与
具有“单调偶遇关系”；
③与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；
④与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
其中所有正确结论的序号为（ ）
的前项和为，若数列与函数满足：（1）
的定义域为；（2）数列
与函数均单调递增；（3）
使成立，则称数列
与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：①
与具有“单调偶遇关系”；②
与具有“单调偶遇关系”；③与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；④与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.其中所有正确结论的序号为（ ）
| A．①③④ | B．①②③ | C．②③④ | D．①②④ |
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名校
解题方法
4 . 已知函数的定义域为
，若存在实数
，使得对于任意
都存在
满足
，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为
的三个函数
，
，
是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数
为”自均值函数”，求
的取值范围．
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．(1)判断定义域为
的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(3)若函数
为”自均值函数”，求的取值范围．
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2024-03-25更新
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217次组卷
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2卷引用：北京市海淀区中央民族大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷
5 . 已知椭圆
，与x轴不重合的直线l经过左焦点
，且与椭圆G相交于
两点，弦
的中点为M，直线
与椭圆G相交于
两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线的斜率；
(2)是否存在直线l，使得
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点．(1)若直线l的斜率为1，求直线
的斜率；(2)是否存在直线l，使得
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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名校
解题方法
6 . 已知动圆过点
，且被
轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线
.过点
的直线
交于
两点，过
与垂直的直线交于
两点，其中
在
轴上方，
分别为
的中点.
(1)求曲线的方程；
(2)证明：直线
过定点；
，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.(1)求曲线
的方程；(2)证明：直线
过定点；
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2024-03-14更新
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858次组卷
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3卷引用：北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学练习数学试题
名校
7 . 设
为正整数，集合
. 任取集合A中的
个元素（可以重复）
，
，
，
，其中
.
(1)若
，
，直接写出
；
(2)对于
，
，
，证明：
；
(3)对于某个正整数，若集合A满足：对于A中任意
个元素
，都有
，则称集合A具有性质
. 证明：若
，集合A具有性质
，则
，集合A都具有性质.
为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中.(1)若
，，直接写出；(2)对于
，，，证明：；(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质.
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8 . 已知函数
.
(1)当
时，求在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；
(3)当
时，讨论函数
零点的个数.
.(1)当
时，求在点处的切线方程；(2)若函数
在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当
时，讨论函数零点的个数.
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名校
9 . 已知数列满足： 
，当 
时，记
,
. 给出如下4个结论：
①
；
②当
，数列是递增数列；
③当
时，存在正数
使得
；
④集合
.
其中正确命题的序号是_____________________
满足： ，当 时，记,. 给出如下4个结论：①
；②当
，数列是递增数列；③当
时，存在正数使得；④集合
.其中正确命题的序号是
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名校
解题方法
10 . 已知椭圆C：
过点
，长轴长为
.
(1)求椭圆方程及离心率；
(2)直线l：
与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线
交于点P、Q，O为坐标原点且
，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.
过点，长轴长为.(1)求椭圆方程及离心率；
(2)直线l：
与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.
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2024-03-06更新
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879次组卷
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4卷引用：北京市海淀区北京大学附属中学预科部2023-2024学年高三下学期3月阶段练习数学试题
