1 . 对于数列，设表示数列前项，，，中的最大项．数列满足：．
(1)若，求的前项和．
(2)设数列为等差数列，证明：或者（为常数），，，，．
(3)设数列为等差数列，公差为，且．
记，
求证：数列是等差数列．

2 . 如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.

3 . 已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

4 . 已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合S具有性质，求证：
①；
②.

5 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．

6 . 如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.

（1）求证：EF//平面ABCD；
（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.

7 . 已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，，称为的满意指数.排列为排列的生成列.
（Ⅰ）当时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；
（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.

8 . 已知椭圆E：y²＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA₀垂直于直线x＝4，垂足为A₀．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：直线A₀B恒过定点．

9 . 对于数列，，…，，记，.设数列，，…，和数列，，…，是两个递增数列，若与满足，，且，，则称，具有关系.
（Ⅰ）若数列：4，7，13和数列：3，，具有关系，求，的值；
（Ⅱ）证明：当时，存在无数对具有关系的数列；
（Ⅲ）当时，写出一对具有关系的数列和，并验证你的结论.

10 . 将1至这个自然数随机填入n×n方格的个方格中，每个方格恰填一个数（）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．

（1）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；

（2）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；

（3）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．