1 . 如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.

2 . 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为.

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；②求点的坐标.
（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围(直接写出结果即可).

3 . 已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点.

4 . 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：当时，.

5 . 已知圆，椭圆（）的短轴长等于圆半径的倍，的离心率为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且与圆相切，证明：为直角三角形．

6 . 已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．

7 . 已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.

8 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.

9 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于点，，点是直线上的任意一点，证明：，，的斜率成等差数列.

10 . 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．