1 . 若函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数
与
的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设
，
的零点为
，
，求证：“存在
，使得点
与
是函数
的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“
是数列
中的项”.
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数
与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若
，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设
，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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2 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和
，使得
成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
(1)若函数
是“
跃点”函数，求实数
的取值范围；
(2)若函数
是定义在
上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数
的取值范围；
(3)若函数
是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数
的取值范围.
的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.(1)若函数
是“跃点”函数，求实数的取值范围；(2)若函数
是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；(3)若函数
是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.
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3 . 已知定义域为
的函数，其导函数为，满足对任意的
都有
.
(1)若
，求实数a的取值范围；
(2)若存在
，对任意，成立
，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、
，使得
，证明：对任意的实数
、
，都有
.
的函数，其导函数为，满足对任意的都有.(1)若
，求实数a的取值范围；(2)若存在
，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；(3)若存在a、
，使得，证明：对任意的实数、，都有.
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4 . 设函数
．
(1)设
，求函数
的单调区间；
(2)求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件；
(3)设
，
，
，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列
，使得
.
．(1)设
，求函数的单调区间；(2)求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件；(3)设
，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.
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名校
解题方法
5 . 已知关于的
函数，
与
在区间上恒有
，则称
满足
性质.
(1)若
，
，
，
，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若
，
，且
，求
的值并说明理由；
(3)若，
，
，
，试证：
是满足性质的必要条件.
函数，与在区间上恒有，则称满足性质.(1)若
，，，，判断是否满足性质，并说明理由；(2)若
，，且，求的值并说明理由；(3)若
，，，，试证：是满足性质的必要条件.
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2023-05-26更新
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727次组卷
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2卷引用：上海市黄浦区格致中学2024届高三下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
6 . 已知函数
和
．
(1)当
时，求证：
是方程
的唯一实根；
(2)若对任意
，函数
的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围．
和．(1)当
时，求证：是方程的唯一实根；(2)若对任意
，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围．
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名校
7 . 已知函数
，当
时，函数有极值
.
(1)求函数的解析式；
(2)现投掷两颗骰子，将其向上的点数之和作为的值，试求关于的方程
有三个不同解的概率.
，当时，函数有极值.(1)求函数
的解析式；(2)现投掷两颗骰子，将其向上的点数之和作为
的值，试求关于的方程有三个不同解的概率.
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名校
8 . 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数
和
是否具有C关系；
(2)若函数
和
不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数
和
在区间
上具有C关系，求实数m的取值范围．
和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．(1)判断函数
和是否具有C关系；(2)若函数
和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数
和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
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2022-12-15更新
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2183次组卷
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10卷引用：上海市敬业中学2023届高三三模数学试题
上海市敬业中学2023届高三三模数学试题上海市闵行区2023届高三一模数学试题（已下线）2023年四省联考变试题17-22（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市复兴高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题（已下线）重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点4 导数与数学文化综合训练江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（二）河北省石家庄市第二中学西校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题四川省成都市西北中学2023-2024学年高二下学期4月阶段性考试数学试题
名校
9 . 已知函数
，若关于的方程
在
上有解，则
的最小值为______ ．
，若关于的方程在上有解，则的最小值为
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2022-09-29更新
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956次组卷
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7卷引用：上海市格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题
10 . 已知函数
和
，它们的图像分别为曲线
和
.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线
与两条曲线
共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为
，求证：成等比数列.
和，它们的图像分别为曲线和.(1)求函数
的单调区间；(2)证明：曲线
和有唯一交点；(3)设直线
与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.
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2022-12-26更新
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565次组卷
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3卷引用：上海市大同中学2024届高三上学期开学考数学试题
