1 . 设为的重心，若，求的值为______；的最大值为______.

2 . 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______.

3 . 已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是______．

4 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．

5 . 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．

6 . 数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______
.

7 . 半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．

8 . 半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．

9 . 已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．

10 . 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.